%$HeadURL: http://practicas-derive.googlecode.com/svn/trunk/funciones_elementales.tex $
%$LastChangedDate: 2009-11-16 15:11:46 +0000 (Mon, 16 Nov 2009) $
%$LastChangedRevision: 5 $
%$LastChangedBy: asalber $

\chapter{Funciones Elementales}

\section{Fundamentos teóricos}

En esta práctica se introducen los conceptos básicos sobre funciones reales de variable real, esto es, funciones
\[f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}.\]

\subsection{Dominio e imagen}

El \emph{Dominio} de la función $f$ es el conjunto de los números
reales $x$ para los que existe $f(x)$ y se designa mediante $\dom
f$.

La \emph{Imagen} de $f$ es el conjunto de los números reales $y$ para los que existe algún $x\in \mathbb{R}$ tal que $f(x)=y$, y se denota por $\im f$.


\subsection{Signo y crecimiento}
El \emph{signo} de la función es positivo $(+)$ en los valores de $x$ para los que $f(x)>0$ y negativo $(-)$ en los que $f(x)<0$. Los valores de $x$ en los que la función se anula se conocen como \emph{raíces} de la función.

Una función $f(x)$ es \emph{creciente} en un intervalo $I$ si $\forall\, x_1, x_2 \in I$ tales que $x_1<x_2$ se verifica que $f(x_1)\leq f(x_2)$.

Del mismo modo, se dice que una función $f(x)$ es \emph{decreciente} en un intervalo $I$ si $\forall\, x_1, x_2 \in I$ tales que $x_1<x_2$ se verifica que $f(x_1)\geq f(x_2)$. En la figura~\ref{g:crecimiento} se muestran estos conceptos.

\begin{figure}[h!]
\centering \subfigure[Función creciente.] {\label{g:funcion_creciente}
\scalebox{1}{\input{img/funciones_elementales/funcion_creciente}}}\qquad
\subfigure[Función decreciente.]{\label{g:funcion_decreciente}
\scalebox{1}{\input{img/funciones_elementales/funcion_decreciente}}}
\caption{Crecimiento de una función.}
\label{g:crecimiento}
\end{figure}


\subsection{Extremos Relativos}
Una función $f(x)$ tiene un \emph{máximo relativo} en $x_0$ si existe un entorno $A$ de $x_0$ tal que $\forall x \in A$ se verifica que $f(x)\leq f(x_0)$.

Una función $f(x)$ tiene un \emph{mínimo relativo} en $x_0$ si existe un entorno $A$ de $x_0$ tal que $\forall x\in A$ se verifica que $f(x)\geq f(x_0)$.

Diremos que la función $f(x)$ tiene un \emph{extremo relativo} en un punto si tiene un \emph{máximo o mínimo relativo} en dicho punto. Estos conceptos se muestran en la figura~\ref{g:extremos}.

\begin{figure}[h!]
\centering \subfigure[Máximo relativo.] {\label{g:maximo}
\scalebox{1}{\input{img/funciones_elementales/maximo}}}\qquad
\subfigure[Función convexa.]{\label{g:minimo}
\scalebox{1}{\input{img/funciones_elementales/minimo}}}
\caption{Extremos relativos de una función.}
\label{g:extremos}
\end{figure}

Una función $f(x)$ está \emph{acotada superiormente} si $\exists K\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)\leq K$ $\forall x \in \dom f$. Análogamente, se dice que una función $f(x)$ está \emph{acotada inferiormente} si $\exists K\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)\geq K$ $\forall x \in \dom f$.

Una función $f(x)$ está \emph{acotada} si lo está superior e inferiormente, es decir si $\exists K\in\mathbb{R}$ tal que $|f(x)|\leq K$ $\forall x \in \dom f$.


\subsection{Concavidad}

De forma intuitiva se puede decir que una función $f(x)$ es \emph{cóncava} en un intervalo $I$ si $\forall\, x_1, x_2 \in I$, el segmento de extremos $(x_1,f(x_1))$ y $(x_2,f(x_2))$ queda por debajo de la gráfica de $f$.

Análogamente se dirá que es \emph{convexa} si el segmento anterior queda por encima de la gráfica de $f$.

Diremos que la función $f(x)$ tiene un \emph{punto de inflexión} en $x_0$ si en ese punto la función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Estos conceptos se ilustran en la figura~\ref{g:concavidad}.

\begin{figure}[h!]
\centering \subfigure[Función cóncava.] {\label{g:funcion_concava_arriba}
\scalebox{1}{\input{img/funciones_elementales/funcion_concava_arriba}}}\qquad
\subfigure[Función convexa.]{\label{g:funcion_concava_abajo}
\scalebox{1}{\input{img/funciones_elementales/funcion_concava_abajo}}}
\caption{Concavidad de una función.}
\label{g:concavidad}
\end{figure}

\subsection{Asíntotas}

La recta $x=a$ es una \emph{asíntota vertical} de la función $f(x)$ si al menos uno de los límites laterales de $f(x)$ cuando $x$ tiende hacia $a$ es $+\infty$ o $-\infty$, es decir cuando se verifique alguna de las siguientes igualdades
\[
\ \lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\pm\infty   \quad \textrm{o} \quad
\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\pm\infty
\]

La recta $y=b$ es una \emph{asíntota horizontal} de la función $f(x)$ si alguno de los límites de $f(x)$ cuando $x$ tiende hacia $+\infty$ o $-\infty$ es igual a $b$, es decir cuando se verifique
\[
\ \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=b    \quad \textrm{o} \quad
\ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=b
\]

La recta $y=mx+n$ es una \emph{asíntota oblicua} de la función $f(x)$ si alguno de los límites de $f(x)-(mx+n)$ cuando $x$ tiende hacia $+\infty$ o $-\infty$ es igual a 0, es decir si

\[
\ \lim_{x\rightarrow -\infty }{(f(x)-mx)}=n    \quad \textrm{o} \quad
\ \lim_{x\rightarrow +\infty }{(f(x)-mx)}=n
\]

En la figura~\ref{g:asintotas} se muestran los distintos tipos de asíntotas.

\begin{figure}[h!]
\centering \subfigure[Asíntota horizontal y vertical.] {\label{g:asintotahorizontalyvertical}
\scalebox{1}{\input{img/funciones_elementales/asintota_vertical_horizontal}}}\qquad\qquad
\subfigure[Asíntota vertical y oblicua.]{\label{g:asintotaoblicua}
\scalebox{1}{\input{img/funciones_elementales/asintota_oblicua}}}
\caption{Tipos de asíntotas de una función.}
\label{g:asintotas}
\end{figure}


\subsection{Periodicidad}
Una función $f(x)$ es \emph{periódica} si existe $h\in\mathbb{R^{+}}$ tal que \[f(x+h)=f(x)\  \forall x\in \dom f\] siendo el período $T$ de la función, el menor valor $h$ que verifique la igualdad anterior.

En una función periódica, por ejemplo $f(x)=A\sen(wt)$, se denomina \emph{amplitud} al valor de $A$, y es la mitad de la diferencia entre los valores máximos y mínimos de la función. En la figura~\ref{g:periodoyamplitud} se ilustran estos conceptos.

\begin{figure}[h!]
\centering
\scalebox{1}{\input{img/funciones_elementales/funcion_periodica}}
\caption{Periodo y amplitud de una función periódica.}
\label{g:periodoyamplitud}
\end{figure}

\clearpage
\newpage

\section{Ejercicios resueltos}

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item Se considera la función

\[
\ f(t)=\frac{t^{4} +19\cdot t^{2} - 5}{t^{4} +9\cdot t^{2} - 10}.
\]

Representarla gráficamente y determinar a partir de dicha representación:


\begin{enumerate}

\item  Dominio.

\begin{indicacion}
{
\begin{enumerate}

\item Para representarla, podemos definir la función en la línea
de editor (o introducirla directamente, sin generar una
definición), y posteriormente utilizamos el botón \texttt{Ventana
2D} para pasar a la ventana de gráficas 2D, y allí pinchamos en el
botón \texttt{Representar Expresión}).

\item Una vez en la Ventana 2D, y ya que vamos a trabajar con la
gráfica de la función durante todo el ejercicio, probablemente
convenga el Modo de Traza, en el que el cursor se desplaza a lo
largo de la gráfica. Para ello pinchar en el botón \texttt{Trazar
las Gráficas}.

\item Para determinar el dominio tan sólo hay que determinar los
valores de $x$ en los que existe la función.

\item Recordar que, tanto para éste como para el resto de los
apartados del ejercicio, pretendemos llegar a conclusiones
aproximadas que tan sólo sacamos del análisis de la gráfica.

\end{enumerate}

}
\end{indicacion}


\item  Imagen.

\begin{indicacion}
{Fijarse en los valores de la variable $y$ hasta los que llega la
función.}
\end{indicacion}


\item  Asíntotas.

\begin{indicacion}
{Son las líneas rectas, ya sea horizontales, verticales u
oblicuas, hacia las que tiende la función.}
\end{indicacion}

\item  Raíces.



\begin{indicacion}
{Son los valores de la variable $x$, si los hay, en los que la
función vale 0.}

\end{indicacion}

\item  Signo.

\begin{indicacion}
{Hay que determinar, aproximadamente, por un lado los intervalos
de variable $x$ en los que la función es positiva, y por el otro
aquellos en los que es negativa. }
\end{indicacion}

\item  Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

\begin{indicacion}
{De nuevo, por un lado hay que determinar los intervalos de
variable $x$ en los que a medida que crece $x$ también lo hace
$y$, que serían los intervalos de crecimiento, y también aquellos
otros en los que a medida que crece $x$ decrece $y$, que serían
los intervalos de decremimiento. }
\end{indicacion}

\item Intervalos de concavidad y convexidad.

\begin{indicacion}
{Para los intervalos de concavidad y convexidad, nos fijamos en el
segmento de línea recta que une dos puntos cualquiera del
intervalo. Si dicho segmento queda por debajo de la gráfica,
entonces la función es cóncava en el intervalo, mientras que si
queda por arriba, entonces es convexa en el mismo. }
\end{indicacion}

\item Extremos relativos.

\begin{indicacion}
{Determinamos, aproximadamente, los puntos en los que se
encuentran los máximos y mínimos relativos de la función. }
\end{indicacion}

\item Puntos de inflexión.

\begin{indicacion}
{Determinamos, aproximadamente, los puntos en los que la función
cambia de curvatura, de cóncava a convexa o a la inversa. }
\end{indicacion}

\end{enumerate}



\item Representar en una misma gráfica las funciones $2^{x}, e^{x}, 0.7^{x}, 0.5^{x}$.
\begin{enumerate}
\item A la vista de las gráficas obtenidas, indicar cuáles de las funciones anteriores son crecientes y cuáles son decrecientes.

\begin{indicacion}
{
\begin{enumerate}

\item Aunque podríamos representar en una misma gráfica todas las
funciones dadas a la vez  (sin más que introducir sus expresiones,
marcar todas ellas, irnos a la ventana 2D, y pinchando en el botón
\texttt{Representar Expresiones}), más bien conviene representar
las funciones una a una, y utilizar el botón \texttt{Insertar
Anotación} para asignara a cada una de las gráficas una pequeña
anotación que nos ayude a distinguirla de las demás. Si
desactivamos el modo de trazado y pasamos al modo habitual en el
que podemos situarnos con el cursor en cualquier punto de la
gráfica, podemos trasladar la anotación desde la posición
inicialmente escogida para su ubicación en cualquier otro punto de
la gráfica, sin más que pinchar con el ratón en la anotación, y,
manteniendo pulsado el mismo, arrastrar hasta la nueva ubicación.

\end{enumerate}


}
\end{indicacion}

\item Determinar, a partir de los resultados obtenidos, o representando nuevas funciones si fuera necesario, para qué valores de $a$ será creciente la función $a^{x}$.


\item Determinar, a partir de los resultados obtenidos, o representando nuevas funciones si fuera necesario, para qué valores de $a$ será decreciente la función $a^{x}$.

\begin{indicacion}
{Para los dos apartados anteriores, si no somos capaces de
determinar para qué valores de $a$ la exponencial es creciente o
decreciente, representar en una nueva gráfica las funciones:
$(1,1)^x,1^x$ y $(0,9)^x$.

}
\end{indicacion}

\end{enumerate}




\item Representar en una misma gráfica las funciones siguientes, indicando su período y amplitud.

\begin{enumerate}

\item $\sen{x}$, $\sen{x}+2$, $\sen{(x+2)}$.

\item $\sen{2x}$, $2\sen{x}$, $\sen\frac{x}{2}$.

\begin{indicacion}
{ De nuevo, en ambos apartados conviene representar las funciones
una a una, e incluir anotaciones que nos hagan recordar a qué
función corresponde cada gráfica.


}
\end{indicacion}

\end{enumerate}

\item Representar en una gráfica la función

\[
\ f(x)=\left\{%
\begin{array}{cl}
    -2x & \hbox{si $x\leq0$;} \\
    x^{2} & \hbox{si $x>0$.} \\
\end{array}%
\right.
\]

\begin{indicacion}
{Para representar funciones a trozos, Derive utiliza una función
predefinida llamada $\operatorname{chi}$. La sintaxis de esta
función es $\operatorname{CHI}$ $(a,x,b)$, donde $a$ u $b$ son los
límites de un intervalo, y $x$ es la variable de la función, y se
define cómo:


\[
\operatorname{CHI} (a,x,b) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\text{si}} & {x < a}  \\
   1 & {\text{si}} & {a \leqslant x \leqslant b}  \\
   0 & {\text{si}} & {x > b}  \\

 \end{array} } \right.
\]


Según esto, para representar la función anterior, habría que
introducir la expresión

\[
-2x \operatorname{CHI}(-inf,x,0)+x^2\operatorname{CHI}(0,x,inf)
\]

\textbf{¡Cuidado!}: a pesar de que la función $\operatorname{CHI}$
es una función interna del programa, y que, por tanto, debería
permitir que se introdujese en mayúsculas o en minúsculas
indistintamente, al intentar introducirla en minúsculas da
errores. Por ello, es conveniente, y puede que incluso
indispensable, introducirla en mayúsculas. }
\end{indicacion}


\end{enumerate}


\section{Ejercicios propuestos}

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item Hallar el dominio de las siguientes funciones a partir de sus representaciones gráficas:

\begin{enumerate}
\item
$
\ f(x)=\dfrac{x^{2} + x + 1}{x^{3} - x}
$

\item $g(x)=\sqrt[2]{x^{4}-1}$.

\item $h(x)=\cos{\dfrac{x + 3}{x^{2} + 1}}$.
\item $l(x)=\arcsen{\dfrac{x}{1+x}}$.
\end{enumerate}


\item Se considera la función

\[
\ f(x)=\frac{x^{3} + x +2}{5x^{3} - 9x^{2} - 4x + 4}.
\]

Representarla gráficamente y determinar a partir de dicha representación:


\begin{enumerate}
\item  Dominio.
\item  Imagen.
\item  Asíntotas.
\item  Raíces.
\item  Signo.
\item  Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
\item  Intervalos de concavidad y convexidad.
\item  Extremos relativos.
\item  Puntos de inflexión.
\end{enumerate}

\item Representar en una misma gráfica las funciones $\log_{10}{x}$, $\log_{2}{x}$, $\log{x}$, $\log_{0.5}{x}$.


\begin{enumerate}

\item A la vista de las gráficas obtenidas, indicar cuáles de las funciones anteriores son crecientes y cuáles son decrecientes.

\item Determinar, a partir de los resultados obtenidos, o representando nuevas funciones si fuera necesario, para qué valores de $a$ será creciente la función $\log_{a}{x}$.

\item Determinar, a partir de los resultados obtenidos, o representando nuevas funciones si fuera necesario, para qué valores de $a$ será decreciente la función $\log_{a}{x}$.


\end{enumerate}

\item Completar las siguientes frases con la palabra igual, o el número de veces que sea mayor o menor en cada caso:

\begin{enumerate}

\item La función $\cos{2x}$ tiene un período............ que la función $\cos{x}$.

\item La función $\cos{2x}$ tiene una amplitud............ que la función $\cos{x}$.

\item La función $\cos\dfrac{x}{2}$ tiene un período............ que la función $\cos{3x}$.

\item La función $\cos\dfrac{x}{2}$ tiene una amplitud............ que la función $\cos{3x}$.

\item La función $3\cos{2x}$ tiene un período............ que la función $\cos\dfrac{x}{2}$.

\item La función $3\cos{2x}$ tiene una amplitud............ que la función $\cos\dfrac{x}{2}$.

\end{enumerate}

\item Hallar a partir de la representación gráfica, las soluciones de $e^{-1/x}=\dfrac{1}{x}$.

\item Representar en una gráfica la función

\[
\ f(x)=\left\{%
\begin{array}{ll}
    x^{3} & \hbox{si $x<0$} \\
    e^{x}-1 & \hbox{si $x\geq0$} \\
\end{array}%
\right.
\]

\end{enumerate}










